Question

如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

 ⑴设点P满足（为实数），证明：；

⑵设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

解：⑴依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：

         ①    

设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，

所以，．

由点P满足（为实数，），得， 即．

又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．

=

 =

 = =0    

 所以，．  

 ⑵由得点A、B的坐标分别是、．

由得，

所以，抛物线在点A处切线的斜率为．

 设圆C的方程是，  

 则         

  解得：．

      所以，圆C的方程是．