题目内容

（04年湖南卷）（12分）

如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（Ⅰ）设点P分有向线段所成的比为，证明；

（Ⅱ）设直线AB是方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处共同的切线，求圆C的方程。

解析：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得   

     ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.

所以     

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而.

               

               

所以 

（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是

则

解之得

所以圆C的方程是 

即 

练习册系列答案
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（04年湖南卷理）（12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥中，

，点E在PD上，且PE：ED=2：1。

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。

（04年湖南卷理）（14分）

如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…。点的横坐标构成数列。

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）比较与的大小。

 

（04年湖南卷文）（12分）

如图，在底面 是菱形的四棱锥P―ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.

（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

 

（04年湖南卷文）（12分）

如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D.

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

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