Question

1．有下列命题：
①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，则a=-1；
④满足条件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有两个．
其中真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 利用积化和差公式化简函数解析式，进而分析其对称性，可判断①；求出函数的对称中心，可判断②；根据一元二次方程根的个数与系数的有关系，求出a值，可判断③；利用正弦定理，判断三角形解的个数，可判断④．

解答 解：①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}${$cos[（x-\frac{π}{4}）+（x+\frac{π}{4}）]$+$cos[（x-\frac{π}{4}）-（x+\frac{π}{4}）]$}=$\frac{1}{2}$cos2x，
当x=$\frac{π}{2}$时，y取最小值，故函数图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，故①正确；
函数y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1的图象由函数y=$\frac{4}{x}$的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
函数y=$\frac{4}{x}$的图关于点（0，0）对称，故函数y=$\frac{x+3}{x-1}$的图象关于点（1，1）对称，故②错误；
关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实根，则$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}+4a=0\\ a≠0\end{array}\right.$，即a=-1，故③正确；
满足条件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有且只有一个，故④错误；
故正确的命题的序号为：①③，
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，函数图象的平移变换，正弦定理，积化和差公式，难度中档．