已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2\\x+2a\end{array}\right.\begin{array}{c}x≤0\\.x＞0\end{array}\right.$对任意x1≠x2.都有$\frac{{f}}{{{x 1}-{x 2}}}$＞0成立.则实数a的取值范围是．[$-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e}^{x}-2\\（1-2a）x+2a\end{array}\right.\begin{array}{c}x≤0\\，x＞0\end{array}\right.$对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，则实数a的取值范围是．[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

分析根据已知条件便知函数f（x）在R上为增函数，从而x≤0，和x＞0时，f（x）都应为增函数，从而得到$a＜\frac{1}{2}$，并且有e⁰-2a≤（1-2a）•0+2a，从而1-2a≤2a，解该不等式与前面a的范围求交集即可得出实数a的取值范围．

解答解：由题意知函数f（x）在R上单调递增；
∴f（x）的两段函数在各自区间上单调递增；
∴1-2a＞0，即$a＜\frac{1}{2}$；
又e⁰-2≤（1-2a）•0+2a；
∴-1≤2a；
∴$a≥-\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围是[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
故答案为：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．

点评考查增函数的定义，分段函数的单调性的判断方法，以及指数函数、一次函数的单调性，要掌握分段函数为单调函数时应满足的条件．

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