Question

如图1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，点P在线段AB上，将△BPC沿CP折成直二面角S-CP-A（点B与点S重合），且SA=（图2）．

（1）求∠SCP的度数；
（2）求二面角P-SC-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示，利用SA=，即可求得∠SCP的度数；
（2）平面PSC的法向量为，平面ASC的法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得二面角P-SC-A的余弦值．
解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设∠SCP=α，则A（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），C（2cosα，0，0），S（0，0，2sinα）
∴=（2cosα-3sinα，3cosα，-2sinα），
∴==，∴sin2α=1，∴α=
（2）平面PSC的法向量为
设平面ASC的法向量为
∵
∴，∴取
∴cos==
∴二面角P-SC-A的余弦值为．
点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查面面角，正确求出平面的法向量是关键．