Question

已知a∈R且a≠1，求函数f(x)=

ax+1

x+1

在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：先利用定义判断函数的单调性，然后根据单调性求函数的最值．

解答：解：任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(x1-x2)(a-1)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，又a∈R且a≠1，
所以，当a＞1时，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在[1，4]上是增函数，
最大值为f(4)=

4a+1

5

，最小值为f(1)=

a+1

2

．
当a＜1时，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
函数f（x）在[1，4]上是减函数，
最大值为f(1)=

a+1

2

，最小值为f(4)=

4a+1

5

．

点评：本题考查函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．