Question

如图，三棱柱的所有棱长都为2，为中点,平面

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

(1) (2)

试题分析：（1）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）设平面的法向量为．
，．，，

令得
由（1）知平面，为平面的法向量．
   
二面角的余弦值为．
（3）由（2），为平面法向量，   
．
点到平面的距离．
点评：解决的关键是能合理的建立坐标系，结合点的坐标，得到向量的坐标，从而得到法向量的坐标，借助于向量的数量积来求解，属于基础题。