Question

2．已知f（x）=-x³-2x，若x∈R对任意，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，则k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-x³-2x，可得f（x）在R上单调递减，且函数为奇函数，结合函数的单调性和奇偶性，将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立可化为k＜3t²-2t恒成立，进而根据二次函数的图象和性质得到答案．

解答 解：∵f（x）=-x³-2x，
∴f（-x）=x³+2x=-f（x），
又由f′（x）=-3x²-2＜0恒成立，
故知f（x）在R上单调递减，
若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）恒成立，
即f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立，
即t²-2t＞-2t²+k恒成立，
即k＜3t²-2t恒成立，
由y=3t²-2t的最小值为-$\frac{1}{3}$，
故k＜-$\frac{1}{3}$，
即k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$，
故答案为：k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．