Question

13．若不等式f（x）≤0的解集为区间[a，b]（a＜b），那么称I=b-a为不等式f（x）≤0的解集长度，已知函数f（x）=mx²+（m²-m-2）x+2（1-m）（m＞0）．
（1）当m=3时，求不等式f（x）≤0的解集长度；
（2）若不等式f（x）≤0的解集长度不小于2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=3时，解不等式f（x）=3x²+4x-4≤0，可得不等式f（x）≤0的解集长度；
（2）若不等式f（x）≤0的解集长度不小于2，$\frac{\sqrt{△}}{m}$=$\frac{{m}^{2}-m+2}{m}$=m+$\frac{2}{m}$-1≥2，解得实数m的取值范围．

解答 解：（1）当m=3时，解不等式f（x）=3x²+4x-4≤0得：
x∈[-2，$\frac{2}{3}$]，
故不等式f（x）≤0的解集长度为$\frac{8}{3}$，
（2）∵函数f（x）=mx²+（m²-m-2）x+2（1-m）=0的△=（m²-m-2）²-8m（1-m）=（m²-m+2）²＞0恒成立，
故若不等式f（x）≤0的解集长度不小于2，
则$\frac{\sqrt{△}}{m}$=$\frac{{m}^{2}-m+2}{m}$=m+$\frac{2}{m}$-1≥2，
解得：m∈（0，1）∪（2，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，根据韦达定理的推论2及解集长度的定义，得到解集长度=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$，是解答的关键．