Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标运算结合两角和的余弦求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；由向量的坐标加法运算求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，然后利用模的公式求模；
（2）把（1）中的结果代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，整理后利用配方法结合x的范围得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3}{2}x$•cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3}{2}$x•sin$\frac{x}{2}$=cos2x．
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x）+（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）|=|（$cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}$）|
=$\sqrt{（cos\frac{3}{2}x+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3}{2}x-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2cosx（x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]）；
（2）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2cosx，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1．
令t=cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]．
∴y=f（x）=$2{t}^{2}-2t-1=2（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}$．
∴当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，y有最小值为$2（\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}=-\sqrt{2}$；
当t=1，即x=0时，y有最大值为$2（1-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{2}=-1$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，训练了换元法求函数的最值，是中档题．