题目内容

无论a取何值，函数y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，而A在直线mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），则 $数学公式$ 的最小值为________．

4
分析：依题意，可求得A（2，1），将其代入直线方程mx+ny-2=0，利用基本不等式即可求得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：∵函数y=a^x-2（a＞0，且a≠1）的图象过定点A（2，1），
又点A（2，1）在直线mx+ny-2=0上（m＞0，n＞0），
∴2m+n=2，（m＞0，n＞0），
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ （2m+n）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +2+2+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ×（4+2 $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （4+4）=4（当且仅当m= $\text{[math]}$ ，n=1时取“=”）．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值为4．
故答案为：4．
点评：本题考查基本不等式，考查曲线恒过定点问题，考查转化与整体代入思想，属于中档题．