Question

四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,PB⊥AC,E为PD中点.

(1)求证:PB∥平面AEC.

(2)求二面角E-AC-D的大小.

Answer 1

答案：(1)证明:连BD交AC于点O,连结OE.

∵E为PD中点,O为BD中点,∴OE∥PB.

∵OE面AEC,且PB平面AEC,∴PB∥面AEC.

(2)解:设CD=a,AD=b,过P作PH⊥CD,垂足为H,连结BH,

∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ABCD.∵PB⊥AC,∴BH⊥AC.

取HD中点G,连结EG,OG,则EGPH,OGBH,

∴OG⊥AC.∵PB∥EO,PB⊥AC,∴EO⊥AC.∴∠EOG为二面角E-AC-D的平面角.

∵BH⊥AC,∴∠BHC=∠ACB.∴.

∴,a=b,EG=PH=b,EO=b.∴sin∠EOG=.∴∠EOG=.

∴二面角E-AC-D的大小为.