Question

已知点列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N） 顺次为一次函数图象上的点， 点列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N） 顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1）， 对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以 B_n为顶点的等腰三角形.

⑴求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；

⑵试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；

 ⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）(nÎN)；（2）x_n= 

 （3）存在直角三形，此时a的值为、、.

【解析】（I）因为(nÎN),易根据等差数列的定义判断出{y_n}为等差数列.

（II）解本小题的关键是先根据x_n+1-x_n=2为常数,可确定的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而求出.

(III) 要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()，

当n为奇数时，x_n+1-x_n=2(1-a)；当n为偶数时，x_n+1-x_n=2a.然后分别研究即可.

（1）(nÎN),y_n+1-y_n=,∴{y_n}为等差数列 (4¢)

   （2）x_n+1-x_n=2为常数 (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差为2的等差数列，

        ∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，

        ∴x_n= 

   （3）要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

        当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

        Þ2(1-a)=2() Þa=(n为奇数，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解； (14¢)

        当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

        ∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)  (*¢)，取n=2，得a=,

        若n≥4，则(*¢)无解.

        综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. (18¢)