题目内容
两非零向量
，
满足：2
-
与
垂直，集合A={x|x2+（|
|+|
|）x+|
||
|=0}是单元素集合．
（1）求
与
的夹角
（2）若关于t的不等式|
-t
|＜|
-m
|的解集为空集，求实数m的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）若关于t的不等式|
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由题意可得
•
=
，|
|=|
|，代入夹角公式可得答案；
（2）由（1）可把不等式转化为：t2-t+m-m2≥0对一切t∈R恒成立，可得△=1-4（m-m2）≤0，解之即可．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
（2）由（1）可把不等式转化为：t2-t+m-m2≥0对一切t∈R恒成立，可得△=1-4（m-m2）≤0，解之即可．
解答：解：（1）由2
-
与
垂直得(
-
)•
=0，即
•
=
，
由A={x|x2+（|
|+|
|）x+|
||
|=0}是单元素集合得：
△=(|
|+|
|)2-4|
||
|=0，即|
|=|
|，
设
与
的夹角为θ，由夹角公式可得cosθ=
=
=
，
故θ=
，故
与
的夹角为
（2）关于t的不等式|
-t
|＜|
-m
|的解集为空集，则
不等式|
-t
|≥|
-m
|的解集为R，
从而
2-2
•
×t+t2
2≥
2-2
•
×m+m2
2对一切t∈R恒成立，
将
2=
2，2
•
=
2代入上式得：t2-t+m-m2≥0对一切t∈R恒成立，
∴△=1-4（m-m2）≤0，即（2m-1）2≤0，解得m=
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
由A={x|x2+（|
| a |
| b |
| a |
| b |
△=(|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
设
| a |
| b |
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
故θ=
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
（2）关于t的不等式|
| a |
| b |
| a |
| b |
不等式|
| a |
| b |
| a |
| b |
从而
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
将
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
∴△=1-4（m-m2）≤0，即（2m-1）2≤0，解得m=
| 1 |
| 2 |
点评：本题为向量的综合应用，涉及夹角公式和不等式的恒成立问题，属中档题．
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