Question

设a，b，c∈R₊，且abc=1，求证：

1

1+a+b

+

1

1+b+c

+

1

1+c+a

≤1．

Answer 1

分析：设a=x³，b=y³，c=z³，x，y，z∈R₊，则xyz=1，可得1+a+b=xyz+x³+y³，进而可得

1

1+a+b

≤

z

x+y+z

，同理，

1

1+b+c

≤

x

x+y+z

，

1

1+c+a

≤

y

x+y+z

，三式相加，可得结论．

解答：证明：设a=x³，b=y³，c=z³，x，y，z∈R₊，则xyz=1，
∴1+a+b=xyz+x³+y³，
∵x³+y³-（x²y+xy²）=（x-y）²（x+y）≥0
∴x³+y³≥x²y+xy²
∴1+a+b≥xyz+x²y+xy²=xy（x+y+z）
∴

1

1+a+b

≤

1

xy(x+y+z)

=

z

x+y+z

同理

1

1+b+c

≤

x

x+y+z

，

1

1+c+a

≤

y

x+y+z

三式相加，可得：

1

1+a+b

+

1

1+b+c

+

1

1+c+a

≤1．

点评：本题考查不等式的证明，考查构造法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．