Question

若函数f（x）=

x

x2+a

（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为

3

3

，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：对函数f（x）=

x

x2+a

（a＞0）进行求导，讨论a研究函数在[1，+∞）上的极值从，而求出最大值，反求出a．

解答：解：f′(x)=

x2+a-2x2

(x2+a)2

=

a-x2

(x2+a)2

，
x＞

a

时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
当-

a

＜x＜

a

时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
当x=

a

时，f（x）=

a

2a

=

3

3

，

a

=

3

2

＜1，不合题意．
∴f（x）_max=f（1）=

1

1+a

=

3

3

，a=

3

-1，
故答案为

3

-1

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题的反求问题，属于研究最值问题的中档题．