Question

已知双曲线的离心率为，右焦点到其渐进线的距离为，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线上，则△ABC的边长是 ( )

A.8 B.10 C.12 D.14

Answer 1

C

【解析】

试题分析：因为双曲线的离心率，所以， ，

因为双曲线右焦点到其渐进线的距离为，所以，

即：

双曲线的右焦点也即抛物线的焦点为F(1，0)，

所以抛物线的方程为，

设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于

直线于A1、B1、N，设∠AFx=，由抛物线定义知：

|MN|，∵|MC|，

∴|MN||MC|，∵∠CMN=，

∴，即，

又由抛物线定义知|AF|，|BF|，∴|AB|．

即正三角形ABC的边长为12.故选C.

考点：1、双曲线的标准方程与简单几何性质；2、直线与抛物线的位置关系.