题目内容

已知函数 $数学公式$ 是（-1，1）上的奇函数，且 $数学公式$
（1）求a、b的值　
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 是（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，∴b=0，
又 $\text{[math]}$ ，∴a=1；
（2）f（x）在（1，+∞）上是增函数，
证明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则 $\text{[math]}$ ，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x₁x₂＞0，∴（1+x₁）（1-x₁）（1+x₂）（1-x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上的是增函数．
分析：（1）由f（x）为（-1，1）上的奇函数可得f（0）=0，由此可求得b值，由f（2）= $\text{[math]}$ 可求得a值；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，通过作差可比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，利用函数的单调性的定义即可判断证明；
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法．

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