题目内容
已知函数y=x+
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,
(1)如果函数y=x+
(x>0)的值域是[6,+∞),求实数m的值;
(2)研究函数f(x)=x2+
(常数a>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)若把函数f(x)=x2+
(常数a>0)在[1,2]上的最小值记为g(a),求g(a)的表达式.
a |
x |
a |
a |
(1)如果函数y=x+
3m |
x |
(2)研究函数f(x)=x2+
a |
x2 |
(3)若把函数f(x)=x2+
a |
x2 |
分析:(1)根据题意,易得由已知,函数y=x+
(x>0)在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,则该函数当x=
时,取得最小值,有题意知其最小值为6,可得2
=6,解可得答案;
(2)根据题意,求得f(x)=x2+
的定义域为x≠0,再令t=x2,x≠0,有t>0,则y=t+
,那么该函数在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,而t=x2在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;
由复合函数的单调性分析可得答案;
(3)由(2)的结论,分可
>2、1≤
≤2、
<1三种情况讨论,分别得到g(a)的表达式,即可得答案.
3m |
x |
3m |
3m |
3m |
3m |
(2)根据题意,求得f(x)=x2+
a |
x2 |
a |
t |
a |
a |
由复合函数的单调性分析可得答案;
(3)由(2)的结论,分可
4 | a |
4 | a |
4 | a |
解答:解:(1)由已知,函数y=x+
(x>0)在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,
∴ymin=
+
=2
∴2
=6,3m=9
因此m=2.
(2)根据题意,f(x)=x2+
,x≠0,
令t=x2,x≠0,则t>0,
故y=t+
,那么该函数在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,
而t=x2在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;
由复合函数的单调性,
当(0,
]时,t=x2递增,t在(0,
]上,则y=t+
是减函数,故f(x)在(0,
]上是减函数,
当x∈[
,+∞)时,t=x2递增,t在[
,+∞)上,则y=t+
是增函数,故f(x)在[
,+∞)上是增函数,
当x∈(-∞,-
],t=x2递减,t在[
,+∞)上,则y=t+
是增函数,故f(x)在[
,+∞)上是减函数,
当x∈(0,
],t=x2递减,t在(0,
]上,则y=t+
是减函数,故f(x)在[
,+∞)上是增函数,
因此f(x)在(-∞,-
],(0,
]上是减函数,在[-
,0),[
,+∞)上是增函数.
(3)由(2)知,f(x)在(0,
]上是减函数,在[
,+∞)上是增函数,
于是当
>2,即a>16时,g(a)=f(2)=4+
,
当1≤
≤2,即1≤a≤16时,g(a)=f(
)=2
,
当
<1,即0<a<1时,g(a)=f(1)=1+a.
因此g(a)=
.
3m |
x |
3m |
3m |
∴ymin=
3m |
3m | ||
|
3m |
∴2
3m |
因此m=2.
(2)根据题意,f(x)=x2+
a |
x2 |
令t=x2,x≠0,则t>0,
故y=t+
a |
t |
a |
a |
而t=x2在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;
由复合函数的单调性,
当(0,
4 | a |
a |
a |
t |
4 | a |
当x∈[
4 | a |
a |
a |
t |
4 | a |
当x∈(-∞,-
4 | a |
a |
a |
t |
4 | a |
当x∈(0,
4 | a |
a |
a |
t |
4 | a |
因此f(x)在(-∞,-
4 | a |
4 | a |
4 | a |
4 | a |
(3)由(2)知,f(x)在(0,
4 | a |
4 | a |
于是当
4 | a |
a |
4 |
当1≤
4 | a |
4 | a |
a |
当
4 | a |
因此g(a)=
|
点评:本题考查函数单调性的运用,解题的关键在于紧扣题干所给函数的单调性的性质,并利用其解题.
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