题目内容

已知函数y=x+
a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,
a
]
上是减函数,在[
a
,+∞)
上是增函数,
(1)如果函数y=x+
3m
x
(x>0)
的值域是[6,+∞),求实数m的值;
(2)研究函数f(x)=x2+
a
x2
(常数a>0)在定义域内的单调性,并说明理由;
(3)若把函数f(x)=x2+
a
x2
(常数a>0)在[1,2]上的最小值记为g(a),求g(a)的表达式.
分析:(1)根据题意,易得由已知,函数y=x+
3m
x
(x>0)
(0,
3m
]
上是减函数,在[
3m
,+∞)
上是增函数,则该函数当x=
3m
时,取得最小值,有题意知其最小值为6,可得2
3m
=6
,解可得答案;
(2)根据题意,求得f(x)=x2+
a
x2
的定义域为x≠0,再令t=x2,x≠0,有t>0,则y=t+
a
t
,那么该函数在(0,
a
]
上是减函数,在[
a
,+∞)
上是增函数,而t=x2在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;
由复合函数的单调性分析可得答案;
(3)由(2)的结论,分可
4a
>2
1≤
4a
≤2
4a
<1
三种情况讨论,分别得到g(a)的表达式,即可得答案.
解答:解:(1)由已知,函数y=x+
3m
x
(x>0)
(0,
3m
]
上是减函数,在[
3m
,+∞)
上是增函数,
ymin=
3m
+
3m
3m
=2
3m

2
3m
=6
,3m=9
因此m=2.
(2)根据题意,f(x)=x2+
a
x2
,x≠0,
令t=x2,x≠0,则t>0,
故y=t+
a
t
,那么该函数在(0,
a
]
上是减函数,在[
a
,+∞)
上是增函数,
而t=x2在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;
由复合函数的单调性,
(0,
4a
]
时,t=x2递增,t在(0,
a
]
上,则y=t+
a
t
是减函数,故f(x)在(0,
4a
]
上是减函数,
当x∈[
4a
,+∞)
时,t=x2递增,t在[
a
,+∞)
上,则y=t+
a
t
是增函数,故f(x)在[
4a
,+∞)
上是增函数,
当x∈(-∞,-
4a
]
,t=x2递减,t在[
a
,+∞)
上,则y=t+
a
t
是增函数,故f(x)在[
4a
,+∞)
上是减函数,
当x∈(0,
4a
]
,t=x2递减,t在(0,
a
]
上,则y=t+
a
t
是减函数,故f(x)在[
4a
,+∞)
上是增函数,
因此f(x)在(-∞,-
4a
]
(0,
4a
]
上是减函数,在[-
4a
,0)
[
4a
,+∞)
上是增函数.
(3)由(2)知,f(x)在(0,
4a
]
上是减函数,在[
4a
,+∞)
上是增函数,
于是当
4a
>2
,即a>16时,g(a)=f(2)=4+
a
4

1≤
4a
≤2
,即1≤a≤16时,g(a)=f(
4a
)=2
a

4a
<1
,即0<a<1时,g(a)=f(1)=1+a.          
因此g(a)=
1+a  (0<a<1)
2
a
  (1≤a≤16)
4+
a
4
  (a>16)
点评:本题考查函数单调性的运用,解题的关键在于紧扣题干所给函数的单调性的性质,并利用其解题.
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