Question

【题目】已知两个定点，， 动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若与曲线交于不同的、两点，且 (为坐标原点)，求直线的斜率；

（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设点的坐标为，根据列出方程化简，即可求解轨迹方程；

（2）依题意知，且，则点到边的距离为1，列出方程，即可求解；

（3）根据题意，，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，联立两个圆的方程，即可求解．

（1）由题，设点的坐标为，

因为，即，

整理得，

所以所求曲线的轨迹方程为．

（2）依题意，，且，

由圆的性质，可得点到边的距离为1，

即点到直线的距离为，解得，

所以所求直线的斜率为．

（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，

是直线上的动点，设，

则圆的圆心为，且经过坐标原点，

即圆的方程为，

又因为在曲线上，

由，可得，

即直线的方程为，

由且，可得，解得，

所以直线过定点．