Question

1．如图所示的矩形OABC是某城镇的一块非农业用地，已知图中的点D在边OA上，OC=3km，OD=4km，DA=a km，曲线段CD是分别以OD、OC为长、短半轴的一段椭圆弧．当地政府在新城镇建设中，将图中阴影部分规划为居民区，同时规划过曲线段CD上某一点P修建一条笔直的公路EF，分别与OA、BC交于E、F，且∠OEF=45°．（要求公路不穿越居民区；计算时忽略公路的宽度．）
（Ⅰ）试探求a的最小值；
（Ⅱ）如果在四边形ABFE用地内在规划再规划建造一个半径为1.5km的圆形公园M，为使该规划得以实现，四边形OABC的面积至少为多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x＞0，y＞0），设直线EF的方程为y=-x+b，代入椭圆方程，利用△=0，可得b=5，即可求a的最小值；
（Ⅱ）由题意，圆M是四边形ABFE的内切圆时，面积最小．

解答 解：（Ⅰ）由题意，以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x＞0，y＞0），
设直线EF的方程为y=-x+b，代入椭圆方程，整理可得25x²-32bx+16b²-144=0，
△=（32b）²-100（16b²-144）=0，可得b=5，
∴OE=5，DE=1，
∴a的最小值是1；
（Ⅱ）由题意，圆M是四边形ABFE的内切圆时，面积最小．
设圆心坐标为（a，1.5）（a＞0），到直线y=-x+5的距离d=$\frac{|a-3.5|}{\sqrt{2}}$=1.5，
∴a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3.5，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3，
∴四边形OABC的面积至少为$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+3）×3=$\frac{9\sqrt{2}+9}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．