Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{a-c}{sinB-sinC}$=$\frac{b}{sinA+sinC}$．
（1）求角A．
（2）函数f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）+$\frac{1}{2}$sin2x，求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及余弦定理进行求解即可求角A．
（2）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）∵若$\frac{a-c}{sinB-sinC}$=$\frac{b}{sinA+sinC}$，
∴由正弦定理得$\frac{a-c}{b-c}=\frac{b}{a+c}$，
即（a-c）（a+c）=b（b-c），
即a²-c²=b²-bc，
即b²+c²-a²=bc，
则cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知f（x）=cos²（x+$\frac{π}{3}$）-sin²（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1+cos（2x+\frac{2π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos（2x-\frac{2π}{3}）}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．