Question

14．（普通班）已知数列{a_n}满足a₁=2，对于任意的n∈N⁺都有a_n＞0，且（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，又知数列{b_n}：b_n=2^n-1+a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n以及它的前n项和S_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，变形为：[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+a_n+1）=0，由于a_n＞0，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用“累乘求积”及其等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）b_n=2^n-1+a_n-1=2^n-1+2n-1．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，
∴[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+a_n+1）=0，
∵对于任意的n∈N⁺都有a_n＞0，
∴（n+1）a_n-na_n+1=0，
化为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$•…$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n}{n-1}$$•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$•2=2n，（n=1时也成立）．
∴a_n=2n．
∴S_n=$\frac{n（2n+2）}{2}$=n²+n．
（2）b_n=2^n-1+a_n-1=2^n-1+2n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$
=2ⁿ+n²-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．