Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{{{T_{2015}}}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），S_n+2+4S_n=5S_n+1，相减可得a_n+2+4a_n=5a_n+1，变形为：a_n+2-a_n+1=4（a_n+1-a_n），利用等比数列的通项公式与“累加求和”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）log₂a_n=2n-1．数列{log₂a_n}的前n项和T_n=n²．可得1-$\frac{1}{{T}_{n}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{（n-1）（n+1）}{{n}^{2}}$．相乘即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），
∴S_n+2+4S_n=5S_n+1，
∴a_n+2+4a_n=5a_n+1，
变形为：a_n+2-a_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项为6，公比为4，
∴a_n+1-a_n=6×4^n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=6×（4^n-2+4^n-3+…+4+1）+2
=$6×\frac{{4}^{n-1}-1}{4-1}$+2
=2^2n-1．
∴a_n=2^2n-1．
（2）log₂a_n=2n-1．
∴数列{log₂a_n}的前n项和T_n=1+3+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
∴1-$\frac{1}{{T}_{n}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{（n-1）（n+1）}{{n}^{2}}$．
∴$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{{{T_{2015}}}}）$=$\frac{（2-1）×（2+1）}{{2}^{2}}$×$\frac{（3-1）×（3+1）}{{3}^{2}}$×…×$\frac{（2014-1）×（2014+1）}{201{4}^{2}}$×$\frac{（2015-1）×（2015+1）}{201{5}^{2}}$
=$\frac{2016}{2×2015}$
=$\frac{1008}{2015}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．