题目内容
（2012•洛阳一模）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P，N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点．在B点处的切线交直线ON于K．（1）证明：OM•OP=OB2；
（2）证明：△ONP∽△OMK．
分析：（1）利用圆O的切线性质和射影定理即可得出；
（2）利用圆O的切线性质和射影定理及相似三角形的性质即可得出．
（2）利用圆O的切线性质和射影定理及相似三角形的性质即可得出．
解答：证明：（1）因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM，
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OM•OP=OA2，
OA=OB，所以OM•OP=OB2．
（2）因为BK是圆O的切线，所以OB⊥BK，
又因为BN⊥OK，由射影定理知，OB2=ON•OK，
所以OP•OM=ON•OK，即
=
．
又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OM•OP=OA2，
OA=OB，所以OM•OP=OB2．
（2）因为BK是圆O的切线，所以OB⊥BK，
又因为BN⊥OK，由射影定理知，OB2=ON•OK，
所以OP•OM=ON•OK，即
| ON |
| OP |
| OM |
| OK |
又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK
点评：熟练掌握圆的切线性质和射影定理及相似三角形的性质是解题的关键．
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