Question

已知椭圆与x轴相切，两个焦点坐标为F₁（1，1），F₂（5，2），则其长轴长为    ．

Answer 1

【答案】分析：依题意可得该椭圆的中心M（3，），2c=，从而可得b²=a²-，设椭圆方程为+=1，令y=0，整理成关于x的一元二次方程，依题意，只需△=0即可求得a，从而可得2a．
解答：解：∵分别过F₁（1，1），F₂（5，2），向x轴作垂线交x轴为A，B，
设M是椭圆和x轴切点，过M做垂线交F₁F₂于Q，连接F₁M，F₂M，延长F₂F₁交x轴为K，
则K点坐标为K（-3，0）且tan∠F₂KM=（斜率）
由于∠F₁MQ=∠QMF₂（椭圆的光学性质，入射角等于反射角．）
所以△F₁MA∽△F₂MB，相似比为λ=2，
∴M坐标为（，0）
故|F₂M|=2|F₁M|，
∴长轴2a=|F₁M|+|F₂M|=+=+=5
故答案为：5．
点评：本题考查椭圆的方程与椭圆性质的综合应用，利用△=0是解决问题的关键，也是思维的难点，考查分析、转化与解决问题的能力，属于中档题．