Question

已知椭圆与x轴相切，两个焦点坐标为F₁（1，1），F₂（5，2），则其长轴长为

26

．

Answer 1

分析：依题意，分别过F₁（1，1），F₂（5，2），向x轴作垂线交x轴为A，B，设M是椭圆和x轴切点，过M做垂线交F₁F₂于Q，连接F₁M，F₂M，延长F₂F₁交x轴为K，易求K（-3，0）且tan∠F₂KM=

1

4

，利用光学性质可知∠F₁MQ=∠QMF，利用△F₁MA∽△F₂MB，可求得相似比为λ=2，于是得M坐标为（

7

3

，0），利用椭圆的定义即可求得长轴长．

解答：解：∵分别过F₁（1，1），F₂（5，2），向x轴作垂线交x轴为A，B，
设M是椭圆和x轴切点，过M做垂线交F₁F₂于Q，连接F₁M，F₂M，延长F₂F₁交x轴为K，
则K点坐标为K（-3，0）且tan∠F₂KM=

1

4

（斜率）
由于∠F₁MQ=∠QMF₂（椭圆的光学性质，入射角等于反射角．）
所以△F₁MA∽△F₂MB，相似比为λ=2，
∴M坐标为（

7

3

，0）
故|F₂M|=2|F₁M|，
∴长轴2a=|F₁M|+|F₂M|=

( 7 3 -1)2+12

+

( 7 3 -5)2+22

=

5

3

+

10

3

=5
故答案为：5．

点评：本题考查椭圆的方程与椭圆性质的综合应用，利用△=0是解决问题的关键，也是思维的难点，考查分析、转化与解决问题的能力，属于中档题．