Question

设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=

4

．

Answer 1

分析：利用f（m）=g（m），推出

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可．

解答：解：由f（m）=g（m），
即a（b+sinm）=b+cosm
asinm-cosm=b-ab

a2+1

•sin（m-θ）=b（1-a）[注：sinθ=

1

a2+1

]
∵-1≤sin（m-θ）≤1
∴-

a2+1

≤b（1-a）≤

a2+1

∵a，b均为大于1的自然数
∴1-a＜0  b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-

a2+1

，
b（a-1）≤

a2+1

b≤

a2+1 (a-1)2

=

1+ 2a (a-1)2

．
∵a≥4时

2a

(a-1)2

＜1，b＜2
∴a＜4
当a=2时 b≤

5

，b=2
当a=3时  b≤

2.5

无解
综上：a=2，b=2
a+b=4．
故答案为：4．

点评：本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．