Question

【题目】设函数。

（Ⅰ）求证：函数有且只有一个极值点；

（Ⅱ）求函数的极值点的近似值，使得；

（Ⅲ）求证：对恒成立。

（参考数据：）。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数的知识推证；（Ⅱ）借助题设条件运用函数零点的定义推证；（Ⅲ）依据题设条件,借助（Ⅰ）的结论运用导数的知识求函数的最小值进行推证。

试题解析：

（Ⅰ）由题意可知，函数的定义域为，且。

∵函数与均在上递增，

∴在上递增。

又∵在区间上的图像是连续的，且，

∴在区间上至少有一个零点，记为，且在左右两侧的函数值异号。

综上可知，函数有且只有一个变号零点。即函数有且只有一个极值点为。

（Ⅱ）∵，且在上的图象连续,，

∴的零点，即的极值点，即。

∴为的近似值可以取，此时的满足。

（事实上，极值点的近似值的取值在区间内都是可以的，只要说理充分即可。）

（Ⅲ）∵，且在上图象连续，，

∴的零点。

的极值点。

由（Ⅰ）知，且的最小值为。

∵函数在上递减，且，

∴。

∴对恒成立。