Question

【题目】已知函数。

（Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为0。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）按照x与1进行讨论，分离常数得 ，令 ，去掉绝对值符号化简解析式，由一次函数的性质分别求出 的范围，由恒成立问题求出的范围，最后取并集；（Ⅱ）由题意求出，按照x与1、-1的关系去掉绝对值符号化简解析式，由区间和对称轴对进行分类讨论，分别由二次函数的性质判断出h（x）在区间上的单调性，并求出对应的最大值。

试题解析：解：（1）不等式对恒成立，即()对恒成立，①当时，（）显然成立，此时；②当时，()可变形为，令

因为当时，，当时，，所以，故此时。综合①②，得所求实数的取值范围是。

（2）因为=①当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为。

②当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时在上的最大值为。

③当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，，经比较，知此时 在上的最大值为。

④当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为。

当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时 在上的最大值为。综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0。