Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BB₁和A₁D₁的中点．证明：向量

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．

Answer 1

连结A₁D、BD，取A₁D中点G，连结FG、BG，


则有FG

∥

.

1

2

DD₁，BE

∥

.

1

2

DD₁，
∴FG

∥

.

BE，可得四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG．
∵EF?平面A₁BD，BG?平面A₁BD，∴EF∥平面A₁BD．
同理可得B₁C∥平面A₁BD，而向量

A1B

是平面A₁BD内的向量
∴向量

A1B

、

B1C

、

EF

都与平面A₁BD平行．
由此可得：将向量

A1B

、

B1C

、

EF

作适当的平移后，可以共面于平面A₁BD
即

A1B

、

B1C

、

EF

是共面向量．