题目内容

定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x2+y2+2x+2y的最小值是
 
．
分析：先根据导数的符号判断函数的单调性，进而确定x+y的取值范围，然后设c=x2+y2+2x+2y，整理成（x+1）2+（y+1）2=c+2的形式后转化为可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方的最小值的问题求解．
解答：解：∵f'（x）＜0∴该函数在（0，+∞）上是减函数
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
设c=x2+y2+2x+2y，则（x+1）2+（y+1）2=c+2，表示可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方，也表示一个圆
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（-1，-1）的距离最小
∴(
|-1-1-4|
2
)2=18=c+2∴c=16
故答案为：16
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系以及转化为线性规划的问题求最小值的问题．综合比较强．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有f(
1
n
)-f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)记an=f(
1
n2+5n+5
)，n∈N*，则在数列{an}中，a1+a2+…a8=（　　）
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）
（2011•顺义区二模）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有解，记所有解的和为S，则S不可能为（　　）
填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为
1
9
1
9
．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）设向量
a
，
b
，
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，则|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．
（2013•湖州二模）定义在（0，
π
2
）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

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