Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，且

BA

•

BC

=0，异面直线A₁B与AC成60°角，点G，E分别是棱AC，BB₁的中点，点F是棱B₁C₁上的动点．
（1）证明：A₁E⊥GF；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小；
（3）求点E到面AB₁C的距离．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出棱锥的高，根据异面直线A₁B与AC成60°的角，写出两条异面直线的夹角，求出高，再利用向量的数量积求出异面直线所成的角为90°，
进而证明线线垂直．
（2）根据建立的坐标系，看出平面的一个法向量，设出另一个平面的法向量，根据法向量与平面上的向量数量积等于0，求出一个法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
（3）先求出平面的法向量，再求出平面的任意一个斜线所在的向量在法向量上的射影即可．

解答：解：（1）证明：以B为原点，BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱柱的高为h，
则A（2，0，0），C（0，2，0），G（1，1，0），A₁（2，0，h）

所以

BA1

=(2，0，h)，

CA

=(2，-2，0)，
所以cos＜

BA1

，

CA

＞=

4

2 2 • 4+h2

=

1

2

，
解得h=2，
所以E（0，0，1），A₁（2，0，2），
所以

A1E

=(-2，0，-1)．
因为F是B₁C₁上的动点，设F（0，y，2），
所以

GF

=(-1，y-1，2)，
所以

A1E

•

GF

=0，
所以A₁E⊥GF．
（2）因为平面A₁CC₁的一个法向量是

BG

=(1，1，0)．
设平面A₁B₁C的一个法向量

n

=(x，y，z)，
因为

A1C

=(-2，2，-2)，

A1B1

=(-2，0，0)，
所以

n • A1C =0 n • A1B1 =0

，可解得一个法向量为

n

=(0，1，1)，
所以cos＜

n

，

BG

＞=

1

2

，
所求角为60°．
（3）易求得面AB₁C的法向量

n

=(1，1，1)，
又因为

EA

=(2，0，-1)，
所以E到面AB₁C的距离为d=

| n • EA |

| n |

=

3

3

．

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．