Question

解关于x的不等式ax²-2x+a＜0．

Answer 1

分析：分a=0、a＞0、a＜0讨论不等式解集情况，结合不等式对应的方程求出不等式的解集．

解答：解：（1）a=0时，有-2x＜0，∴x＞0．
（2）a＞0时，∵△=4-4a²．
①当△＞0，即0＜a＜1．方程ax²-2x+a=0的两根为

1± 1-a2

a

，
∴不等式的解集为{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}．
②当△=0，即a=1时，有x²-2x+1＜0，∴x∈∅；
③当△＜0，即a＞1时，方程ax²-2x+a=0无实数根，不等式ax²-2x+a＜0无解，∴x∈∅．
（3）当a＜0时．
①当△＞0，即-1＜a＜0时，
不等式ax²-2x+a＜0的解集为{x|x＜

1+ 1-a2

a

或x＞

1- 1-a2

a

}；
②当△=0，即a=-1不等式化为（x+1）²＞0，∴x≠-1；
③当△＜0时，即a＜-1时，不等式ax²-2x+a＜0的解集是R，∴x∈R．
综上所述，原不等式的解集为
当a≥1时，x∈∅；
当a=0时，解集为{x|x＞0}；
当0＜a＜1时，解集为{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}；
当-1＜a＜0时，解集为{x|x＜

1+ 1-a2

a

或x＞

1- 1-a2

a

}；
当a=-1时，解集为{x|x≠-1}；
当a＜-1时，解集为R．

点评：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要分类讨论，是易错题．