Question

设F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)的两个焦点，点P是该椭圆上的动点，若∠F₁PF₂的最大值为

π

2

．
（1）求该椭圆的方程；  
（2）求以该椭圆的长轴AB为一底，另一底CD的两端点也在椭圆上的梯形ABCD的最大面积．

Answer 1

分析：（1）根据∠F₁PF₂的最大值为

π

2

，可得c=1，又b=1，所以a=

2

，从而可得椭圆的方程；
（2）设D(

2

cosθ，sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，则梯形的面积S=2•

1

2

(

2

cosθ+

2

)•sinθ=

2

(cosθ+1)sinθ，构建函数f（θ）=（cosθ+1）sinθ，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得梯形ABCD的最大面积．

解答：解：（1）由于∠F₁PF₂的最大值为

π

2

，则P 的坐标为（0，±1），即c=1
∵b=1，∴a=

2

∴椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1
（2）由于AB∥CD，所以C，D关于y轴对称，设D(

2

cosθ，sinθ)(0＜θ＜

π

2

)
则梯形的面积S=2•

1

2

(

2

cosθ+

2

)•sinθ=

2

(cosθ+1)sinθ，
记f（θ）=（cosθ+1）sinθ，则f'（θ）=cos²θ-sin²θ+cosθ=2cos²θ+cosθ-1=0得cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

当θ∈(0，

π

3

)时，f'（θ）＞0，f（θ）在(0，

π

3

)单调递增；
当θ∈(

π

3

，

π

2

)时，f'（θ）＜0，f（θ）在(

π

3

，

π

2

)单调递增；
所以fmax(θ)=f(

π

3

)=

3 3

4

，故Smax=

3 6

4

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查求函数的最值，解题的关键是正确设点，利用三角函数解决问题．