题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求证：f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为 $数学公式$ 时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]．

证明：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1，
∴f（2a-x）= $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ -1，
∴f（x）+f（2a-x）+2= $\text{[math]}$ +（- $\text{[math]}$ ）-2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）∵f（x）的定义域为 $\text{[math]}$ ，
∴-1-a≤-x≤-a- $\text{[math]}$ ，-1≤a-x≤- $\text{[math]}$ ，-2≤ $\text{[math]}$ ≤-1，
又f（x）= $\text{[math]}$ -1，
∴-3≤ $\text{[math]}$ -1≤-2，即f（x）的值域为[-3，-2]．
分析：（1）由于f（x）= $\text{[math]}$ -1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，与x取值无关得证；
（2）由定义域为[a+12，a+1]，得 $\text{[math]}$ ，再由f（x）= $\text{[math]}$ -1即可求解．
点评：本题考查函数的值域，关键在于对f（x）的化简（化为f（x）= $\text{[math]}$ -1），难点在于由x的范围到-x的范围，再到a-x的范围，最后到 $\text{[math]}$ 的范围的探讨，属于难题．