Question

已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）写出圆O的方程，根据直线与圆相切可求得b值，根据所给斜率及a，b，c的平方关系可求得a值；
（Ⅱ）设点A（x，y），（x＞0，y＞0），AB交x轴于点D，由对称性知S_△OAB=2S_△OAD，根据点A在直线OA、椭圆上可用k表示出x，从而可把△OAB面积表示为关于k的函数，利用基本不等式即可求得其最大值．
解答：解：（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有=b，
所以b=，已知，
所以有a²=3c²=3（a²-b²），
解得a²=3，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设点A（x，y），（x＞0，y＞0），则y=kx，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×xy=，
由，解得，
所以S_△OAB=k=≤，
当且仅当，即k=时取等号，
所以△OAB面积的最大值为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想，解决（Ⅱ）问的关键是把三角形OAB面积表示为函数，正确运用基本不等式是解决基础．