Question

已知两函数f（x）=8x²+16x-m，g（x）=2x³+5x²+4x，（m∈R）若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，只需在∈[-3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最小值，列不等式求解即可．

解答：解：若对?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，恒有f（x₁）＞g（x₂）成立，只需在∈[-3，3]上f（x）min＞g（x）min即可．
f（x）=8x²+16x-m=8（x+1）²-m-8，f（x）min=f（-1）=-m-8
g（x）=2x³+5x²+4x，g′（x）=6x²+10x+4=（x+1）（6x+4），
在x∈（-3，-1）∪（-

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3

，3]，g′（x）＞0，（-3，-1）与（-

2

3

，3]是g（x）单调递增区间．在x∈（-1，-

2

3

），g′（x）＜0，（-1，-

2

3

，]是g（x）单调递减区间．
g（x）的极小值为g（-

2

3

）=-

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，又g（-3）=-21，所以g（x）min=-21
所以-m-8＞-21，解得m的范围为m＜13．

点评：本题考查函数的最值及应用，将问题转化为f（x）min＞g（x）min是关键．考查逻辑推理、转化计算等能力．