Question

(本小题满分13分)已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的

底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，

M为线段AC₁的中点.   （1）求证：直线MF∥平面ABCD；

   （2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

   （3）求平面AFC₁与与平面ABCD所成二面角的大小.

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ) 见解析   （Ⅲ）30°或150°

解析:

法一：

   （1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB₁的中点，

       所以F为C₁N的中点，B为CN的中点。····2分

       又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN。·····3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。    ···5分

   （2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁

       可知A₁A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，

       ∴A₁A⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。

       ∴BD⊥平面ACC₁A₁。         ·················7分

       在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因为NA平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

   （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。···10分

       在Rt△C₁AC中，tan，故∠C₁AC=30°···12分

       ∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。···13分