Question

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且S_n=2-2a_n，T_n=3-b_n-

1

2n-2

． 
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求

lim

n→∞

（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n）．

Answer 1

（I ）由已知可得S₁=a₁=2-2a₁，T1=b1=3- b1-

1

2-1

∴a1=

2

3

，b1=

1

2

当n≥2时，S_n=2-2a_n，S_n-1=2-2a_n-1
两式相减可得，a_n=S_n-S_n-1=-2a_n+2a_n-1
∴an=

2

3

an-1
∴数列{a_n}是以

2

3

为首项，以

2

3

为公比的等比数列
由等比数列的通项可得，an=

2

3

•(

2

3

)n-1=(

2

3

)n（3分）
当n≥2，T_n=3-b_n-

1

2n-2

．Tn-1=3-bn-1-

2

2n-3

两式相减可得，b_n=T_n-T_n-1=-bn+bn-1+

1

2n-2

∴2bn=bn-1+

1

2n-2

∴2ⁿb_n-2^n-1b_n-1=2，2b₁=1
∴数列{2ⁿb_n}是以以1为首项，已2为公差的等差数列
2ⁿb_n=1+2（n-1）=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

（6分）
（II）W_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
则Wn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

1

3

Wn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

两式相减可得，

2

3

Wn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2•

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=

2

3

 -

2(n+1)

3n+1

∴Wn=1-

n+1

3n

（9分）
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ＞2C_n¹+2²C_n²=2n²
∴0＜

n+1

3n

＜

n+1

2n2

∵

lim

n→∞

n+1

2n2

=0
∴

lim

n→∞

(1-

n+1

3n

)=1（12分）