Question

如图，M（a，0）（a＞0）是抛物线y²=4x对称轴上一点，过M作抛物线的弦AMB，交抛物线与A，B．
（1）若a=2，求弦AB中点的轨迹方程；
（2）若AB=8，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分两种情况进行讨论：当AB斜率存在时，由a=2，设其方程为y=k（x-2），弦AB中点为（x₀，y₀），联立直线与抛物线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k表示x₀，y₀，消掉k可得轨迹方程；当AB斜率不存在时，易求弦中点坐标代入上述方程检验即可；
（2）当AB斜率不存在时，由AB=8易求a值；当AB斜率存在时，设其方程为y=k（x-a），代入抛物线方程得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0，△＞0，由弦长公式可用k表示出弦长，由题意知关于k的方程|AB|=8的方程有解，换元后转化为二次方程有正根，利用二次方程根的分布可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）当AB斜率存在时，由a=2，设其方程为y=k（x-2），弦AB中点为（x₀，y₀），
由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
△=16（k²+1）²-16k⁴=32k²+16＞0，则

x0= x1+x2 2 = 2k2+2 k2 =2+ 2 k2 y0= y1+y2 2 = 1 2 (kx1-2k+kx2-2k)= 2 k

，
消去k得y₀²=2x₀-4（x₀＞2）；
当AB斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y²=2x-4．
综上所述，弦AB中点的轨迹方程y²=2x-4．             
（2）当AB斜率不存在时，由AB=8，及抛物线的对称性知，A点的纵坐标为-4，则横坐标为4，故此时a=4；                                  7′
当AB斜率存在时，设其方程为y=k（x-a），代入抛物线方程得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0，
△=4（ak²+2）²-4a²k⁴=16ak²+16＞0，

x1+x2= 2ak2+4 k2 x1x2=a2

，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 1+k2 1+ak2

k2

，
则

4 1+k2 1+ak2

k2

=8有解，即方程（4-a）k⁴-（a+1）k²-1=0有解，
设t=k²（t＞0），f（t）=（4-a）t²-（a+1）t-1=0  （1），
对于正数a，方程（1）一根为正一根为负的充要条件是

4-a＞0 f(0)＜0

，得0＜a＜4；                           
对于正数a，方程（1）两根均为正的充要条件是

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

，即

(a+1)2+4(4-a)＞0 a+1 4-a ＞0 -1 4-a ＞0

，矛盾无解．                                        
综上所述，a的取值范围是（0，4]．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求解、弦长公式及二次方程根的分布问题，综合性强，运算量大．