Question

如图，M（a，0）（a＞0）是抛物线y²=4x对称轴上一点，过M作抛物线的弦AMB，交抛物线与A，B．
（1）若a=2，求弦AB中点的轨迹方程；
（2）过M作抛物线的另一条割线CMD（如图），与抛物线交于CD，若AD与y轴交与点E，连ME，BC，求证：ME∥BC．

Answer 1

分析：（1）当AB斜率存在时，由a=2，设其方程为y=k（x-2），联立方程后，结合韦达定理及中点公式，可得弦AB中点的轨迹方程；当AB斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），最后综合分类讨论的结果，可得答案．
（2）用两点式求得AB的方程为：y（t₂-t₁）+2t₁t₂=2x，CD的方程为：y（t₄-t₃）+2t₃t₄=2x，由AB，CD都经过点M，故t₁t₂=t₃t₄=a，进而求得k_ME=k_BC，根据直线平行的充要条件得到ME∥BC．

解答：解：（1）当AB斜率存在时，由a=2，
设AB方程为：y=k（x-2），弦AB中点为（x₀，y₀）
由

y2=4x y=k(x-2)

得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0
△=16（k²+1）²-16k⁴=32k²+16＞0

x0= x1+x2 2 = 2k2+2 k2 =2+ 2 k2 y0= y1+y2 2 = 1 2 (kx1-2k+kx2-2k)= 2 k

消去k得y₀²=2x₀-4（x₀＞2）
当AB斜率不存在时，其方程为x=2，
与抛物线相交，中点为（2，0），
满足y₀²=2x₀-4．
综上所述，弦AB中点的轨迹方程y²=2x-4．          
（2）证明：设A（t₁²，2t₁），B（t₂²，2t₂），C（t₃²，-2t₃），D（t₄²，-2t₄），
其中t₁，t₂，t₃，t₄均为正数，
用两点式求得AB的方程为：y（t₂-t₁）+2t₁t₂=2x 
CD的方程为：y（t₄-t₃）+2t₃t₄=2x
AB，CD都经过点M，故t₁t₂=t₃t₄=a，
AD的方程为：y（t₄-t₁）+2t₁t₄=2x
AD与y轴交点为E（0，

2t1t4

t1-t4

）          
k_ME=

2t1t4

a(t4-t1)

而k_BC=

2t2+2t3

t22-t32

=

2

t2-t3

=

2

a t1 - a t4

=

2t1t4

a(t4-t1)

∴k_ME=k_BC，
∴ME∥BC．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．