Question

已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

3

，求向量

a

、

c

的夹角θ；
（2）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，函数f(x)=λ

a

•

b

的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）当x=

π

3

时，求出向量

a

、

c

，利用数量积的坐标运算求出向量

a

•

c

，从而求出向量

a

、

c

的夹角θ；（2）向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，代入函数f(x)=λ

a

•

b

，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．

解答：解：（1）当x=

π

3

时，

a

=(

3

2

，

1

2

)，
所以cosθ=

a • c

|a |•| c |

=

- 3 2

1×1

=-

3

2

，
因而θ=

5π

6

；
（2）f(x)=λ(sin2x+sinxcosx)=

λ

2

(1-cos2x+sin2x)，f(x)=

λ

2

(1+

2

sin(2x-

π

4

))，
因为x∈[-

3π

8

，

π

4

]，
所以2x-

π

4

∈[-

π

2

，

π

4

]，
当λ＞0时，fmax(x)=

λ

2

(1+1)=

1

2

，即λ=

1

2

，
当λ＜0时，fmax(x)=

λ

2

(1-

2

)=

1

2

，即λ=-1-

2

，
所以λ=

1

2

或λ=-1-

2

．

点评：此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．