Question

【题目】已知函数.（其中为自然对数的底数）

（1）若，且在上是增函数，求的最小值；

（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）最小值是；（2）.

【解析】

（1）将代入函数的解析式可得，求出导数，可得知函数在上为增函数，然后利用零点存在定理可知函数在区间在存在极小值点，从而得出函数在上单调递增，由此可求出自然数的最小值；

（2）求出函数的导数，构造函数，可得出函数在上为增函数，由零点存在定理可知，存在，使得，可得出，分析函数的函数值符号可得出为函数的最小值点，并构造函数，可得出，由此可得出函数的最小值为，根据题意得出，从而求出实数的取值范围.

（1）当时，，，

在上是增函数，且，，

所以存在，使得在上是减函数，在上是增函数，

因此，的最小值是；

（2），，

设，则在上是增函数，

且，，所以存在，使得，

所以时，，，是减函数；

时，，，是增函数，所以.

由得，设，则，

由在上是增函数，可得，，

所以，

所以的值域为，若对任意恒有，

则，即，所以的取值范围是.