题目内容
【题目】已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形,AD//BC,
,
E为CD的中点,
(1)证明:平面PBD平面ABCD;
(2)若,PC与平面ABCD所成的角为
,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得
平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在N点到平面ABCD的距离为
【解析】
(1)通过证明,结合题目所给已知
,由此证得
平面
,进而证得平面
平面
.
(2)存在.通过(1)的结论,利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系,假设存在符合题意的点,使
平面
,利用向量线性运算设出
点坐标,结合
求得
点坐标,由此证得存在一点
,使得
平面
.利用点到平面距离的向量求法,求得点
到平面
的距离.
(1)证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=,BC=2AD=2,AB⊥BC,
可得DC=2,∠BCD=,从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.
∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2) 存在.在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
∴PO⊥平面ABCD,∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=
∴易得OP=OC=,PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点,OC⊥BD.
以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0)D(-1,0,0),P(0,0,
)假设在侧面
内存在点
,使得
平面
成立,
设,易得
由
得
,满足题意,所以N点到平面ABCD的距离为
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