Question

设f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2-x），且当x≥1时，f（x）=2^x-1，则有（　　）

• A、f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）
• B、f（

  2

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）＜f（

  1

  3

  ）
• C、f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）＜f（

  3

  2

  ）
• D、f（

  3

  2

  ）＜f（

  2

  3

  ）＜f（

  1

  3

  ）

Answer 1

分析：本题是关于函数图象对称性的一个题，
方法一：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2-x），知对称轴是x=1，故有f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），又x≥1时，f（x）=2^x-1，函数在（1，+∞）上是增函数，

5

3

＞

3

2

＞

4

3

，由此可选出正确选项；
方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2-x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（-∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，由此特征判断函数值的大小即可．

解答：解：方法一：由条件f（x）=f（2-x）可得函数图象关于直线x=1对称，则f（

1

3

）=f（

5

3

），f（

2

3

）=f（

4

3

），由于当x≥1时，f（x）=2^x-1，即函数在[1，+∞）上为增函数，由于

5

3

＞

3

2

＞

4

3

，故有f（

1

3

）=f（

5

3

）＞f（

3

2

）＞f（

4

3

）=f（

2

3

）
 故应选B．
方法二：由f（x）定义域为R，对任意的x都有f（x）=f（2-x），知对称轴是x=1，由对称性知其在（-∞，1）上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大，
∵1-

2

3

＜

3

2

-1＜1-

1

3

∴f（

2

3

）＜f（

3

2

）＜f（

1

3

）
故应选B．

点评：本题考点是指数函数的单调性与特殊点，考查指数函数的单调性与函数的对称性，解决本题时一用转化方法，转化到一个单调区间中用单调性比较大小，一是根据图象的特征根据离对称轴的距离比较大小．注意比较两种方法的异同．