Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁,AB=1,AA₁=2,点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点，求BD₁与CC₁的距离.

Answer 1

解析：根据图形特征，可以证明EF是BD₁与CC₁的公垂线段，利用向量法证明垂直并计算长度，有两种途径，一是建立坐标系，用坐标来刻画，二是用自由向量的方法.?

方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，得B（0，1，0），D₁（1，0，2），F（，，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1），?

∴=（，，0），=（0，0，2），=（1，-1，2）.?

∴·=0+0+0=0，·=-+0=0，?

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁.?

故EF是CC₁与BD₁的公垂线段，||=.?

方法二：（自由向量法）设=a，=b，=c，?

由条件知|a|=|b|=1，|c|=2，且a⊥b，b⊥c，c⊥a，?

又∵=c, =+=b-a+c, =b-+c，?

∴=a+b-a+c-c= (a+b).?

∴=（a+b）·（b-a+c）?

=［（b²-a²）+c·（a+b）］?

=（1-1+0+0）?

=0.?

同理，可得=0，

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁.?

故EF是CC₁与BD₁的公垂线段.?

∴||²=（a+b）²=（a²+b²+2a·b）=（1+1+0）=12.∴||=.?

故BD₁与CC₁的距离为.