Question

某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．
（1）将五边形的面积表示为的函数；
（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1）；（2）当时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为.

试题分析：（1）根据题意分析可考虑作，垂足为，从而可将五边形的面积转化为梯形与矩形的面积之和，由∽结合条件，可将梯形的上底，下底与高以及矩形的长和宽都用含的代数式表示出来，从而可得：，再由，可得；（2）由（1）及条件可知，问题就等价于求函数在上的最大值，而将其变形后可得：
，
当且仅当时，“=”成立，从而当时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为.
试题解析：（1）如图，作，垂足为，
∵，∴，又由∽，∴，
∵，∴，     2分
过作交于，
则，
所以，          7分
由于与重合时，适合条件，故；   8分

（2）由（1）得：，       10分
∴当且仅当，即时，取得最大值，    13分
即当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为．     14分