Question

设点A为圆x²+y²=8上动点，点B（2，0），点O为原点，那么∠OAB的最大值为

 

．

Answer 1

分析：只证明当点A位于x轴的上方时，同理可证明当点A位于x轴的下方时的情况．当AB⊥x轴时，∠OAB取得最大值为45°．当AB⊥x轴时，把x=2代入圆的方程可得2²+y²=8，解得y=2．可得∠OAB=45°．作Rt△OAB的外接圆C．可得⊙C与⊙O内切，即两圆只有唯一的一个公共点A（2，2）．当点A取位于x轴的上方的其它位置A′时，连接OA′、BA′，交⊙C于点M，连接OM．得到∠OMB=∠OAB=45°＞∠OA′B即可．

解答：解：只证明当点A位于x轴的上方时，同理可证明当点A位于x轴的下方时的情况．
当AB⊥x轴时，∠OAB取得最大值为45°．
当AB⊥x轴时，把x=2代入圆的方程可得2²+y²=8，解得y=2．
可得∠OAB=45°．
作Rt△OAB的外接圆C．
∵直径OA=2

2

=OC+

2

．
∴⊙C与⊙O内切，即两圆只有唯一的一个公共点A（2，2）．
当点A取位于x轴的上方的其它位置A′时，连接OA′、BA′，交⊙C于点M，连接OM．
则∠OMB=∠OAB=45°＞∠OA′B．
因此，∠OAB的最大值为45°．
故答案为：45°．

点评：本题考查了三角形的外接圆、两圆内切、圆周角与圆外角的关系，属于难题．