Question

7．已知点P（x，y）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{39}=1$上，若定点A（5，0），动点M满足|$\overrightarrow{AM}$|=1，且$\overrightarrow{PM•}$$\overrightarrow{AM}$=0，则|$\overrightarrow{PM}$的最小值是|2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题设条件，结合向量的性质，推导出丨PM丨²+丨AM丨²=丨PA丨²，由|$\overrightarrow{AM}$|=1，要求|$\overrightarrow{PM}$|的值最小，将其转化成求$丨\overline{PA}丨$得最小值，由图象可知当P点为椭圆的右顶点时取最小值，即可求得$丨\overline{PM}丨$的最小值．

解答 解：由|$\overrightarrow{AM}$|=1，
可知点M的轨迹为以点A（5，0）为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线，
则丨PM丨²+丨AM丨²=丨PA丨²，
得丨PM丨²=丨PA丨²-1，
∴要使得|$\overrightarrow{PM}$|的值最小，则要$丨\overline{PA}丨$的值最小，
结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，即$丨\overline{PA}丨$=a-c=3时取最小值，∴
$丨\overline{PM}丨$=$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，是中档题．